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不放弃数量关系,让上岸把握更大

对于行测中的数量关系模块,很多同学会选择放弃,觉得没有思路,太难。费时间去做,又不一定能做对。不过换个角度想一下,如果你能在数量这个模块多做对几道题目,也许就比其他考生多了些优势。


其他题型的思考路径大多直接摆在题干中,读题就是思考的过程,而数量题大多需要在读完题后继续分析,去想题干中不同量之间的逻辑关系是什么,应该如何列式子等,所以思考难度大,耗时长。

但数量命题也是有规律的,有规律就绕不开熟能生巧,不会做或者做的慢,就是因为还不够熟。如果同学们对各类题型,对每种题型中常见量的关系,对各种解题方法都非常熟悉的话,就可以把数量题的思考过程提速,提高到10-30秒以内完成,这样就完全可以在1分钟内搞定1道数量题。


要想达到熟的程度,需要在了解题型和方法后,不断练习和巩固,举一反三,一直到能瞬间反应出题目的思维逻辑为止。


大多数数量题目,如果用常规解法会比较繁琐,而除了常规解法外,还有很多巧妙算法,对很多等式我们并不需要求出最终值,完全可以用巧妙算法(如代入排除、数字特性、赋值法、线段法、方程思维)来快速做题。


很多考生面对数量题没有思路,就是因为不了解题型。其实数量题有明确的题型分类,每类题型都有固定的解题方法,如果考试时候能够判断出这道题是什么题型,并运用该种题型的解题方法,做起来就轻松多了。


在做言语题或判断推理题时,我们选出答案后,往往不敢确定它就是正确的,我们只是觉得这个选项最合理,最有可能。但数量题不同,只要你解出了一道数量题,就是在逻辑上指向了唯一解,除非是自己马虎,否则答案错误的可能性极小。从这个角度看,数量题还是很值得做的。


数学是最能体现一个人逻辑思维能力的学科,相比其他学科,数学学习中,天赋要更加重要。有的人天生就在数学上比较弱,学起来会很吃力。这样的同学,可以先熟悉比较基础、简单的题型,比如工程、行程、浓度、利润类题目。这些题型都不是很难,大家下一番功夫,是可以掌握的。这样在考场上,争取能做对4-5道数量题,对于你拿到理想分数很有帮助。至于其他题型,可以根据个人的学习能力酌情对待,如果能搞定,就多学一些,实在觉得困难再放弃。


刚才我们说过,数量命题有规律,想要快速解题,就必须熟悉题型和对应方法。接下来,我们把数量解题中最常用到的5种方法,和命题中最常见的11种题型,为大家梳理一下。对于大多数同学来说,数量的复习就是不断强化对这5种方法和11种题型的练习,不断加深对其的理解。


数量关系各种题型中最常见5种解答方法


1、代入排除:将ABCD四个选项代入题干或公式当中,看是否满足条件。


【例】(2014广东)一名顾客购买两件均低于100元的商品,售货员在收款时错将其中一件商品标价的个位数和十位数弄反了,该顾客因此少付了27元。被弄错价格的这件商品的标价不可能是( )元?

A.42                                 

B.63

C.85                               

D.96


答案:A。代入排除,看哪一项两位数减去十位与个位互换之后的数值不等于27.代入A选项:42-24=18≠27,所以A是正确选项。


2、数字特性:利用数字的一些性质解题,如奇偶特性、倍数特性等。


【例】 (2015联考)每年三月某单位都要组织员工去A、B两地参加植树活动,已知去A地每人往返车费20元,人均植树5棵,去B地每人往返车费30元,人均植树3棵,设到A地有员工x人,A、B两地共植树y棵,y与x之间满足y=8x-15,若往返车费总和不超过3000元时,那么,最多可植树多少棵?

A.498                                       

B.400

C.489                 

D.500


答案:C。这道题题干较长,看起来很复杂,但把握住题目本质就可秒杀。求植树多少棵,也就是求题干中的未知数y,而y满足公式y=8x-15,这就是典型的不定方程。8x是偶数,15是奇数,所以y一定是奇数,只有C项符合。这是利用了数字特性中奇偶性。


【例】(2017吉林甲)古希腊数学家丢番图(Diophantus)的墓志铭:过路人,这儿埋葬着丢番图,他生命的六分之一是童年;再过了一生的十二分之一后,他开始长胡须,又过了一生的七分之一后他结了婚;婚后五年他有了儿子,但可惜儿子的寿命只有父亲的一半,儿子死后,老人在活了四年就结束了余生。根据这个墓志铭,丢番图的寿命为?

A.60岁

B.84岁

C.77岁                                 

D.63岁


答案:B。通过题干“生命的六分之一”、“一生的十二分之一”、“一生的七分之一”,可知丢番图的年龄应满足被6、12、7整除,在4个选项中只有B符合,故正确答案为B。这是利用了数字特性中的倍数特性。


3、赋值法:把抽象问题具体化,把未知量变成已知量;赋予某些未知数特定的值,从而快速解题。


【例】(2012国考)2010年某种货物的进口价格是15元/公斤,2011年该货物的进口量增加了一半,进口金额增加了20%。问2011年该货物的进口价格是多少元/公斤?

A.10                                       

B.12

C.18                                       、

D.24


答案:B。通过题干 “进口量增加一半”,可以判定去年进口量:今年进口量=2:3。题干中没有给出具体的进口货物总量和进口金额,我们可以用赋值法。赋值该年的进口量为其比例,即2010年进口量是2,2011年进口量是3。2010年进口金额为15×2=30元,则2011年进口价格为30×1.2÷3=12元/公斤,故正确答案为B。


4、线段法:当题干中出现混合比例时,可以用线段法。混合比值就是已知两个部分各自的某项比值,求整体的该项比值。如已知甲溶液浓度和乙溶液浓度,求把甲乙混合后的浓度;已知男生平均分和女生平均分,求全班平均分。被混合的比值就是浓度、利润率、平均分、增长率等。

使用方法:口诀:混合之前写两边,混合之后写中间,求距离按顺序减,距离与量成反比。前三句中“混合之前”、“混合之后”、“求距离”说的都是比例中的“比值”;比如浓度、平均数、利润率、折扣等等,总之就是被混合的数值。第四句的“量”对应的是比值中的分母,如溶液、个数、成本、定价等。


【例】(2013江苏B)有100克溶液,第一次加入20克水,溶液的浓度变成50%;第二次再加入80克浓度为40%的同种溶液,则溶液的浓度变为(   )?

A.45%                                   

B.47%

C.48%     

D.46%


答案:D。这道题是50%的溶液和40%的溶液进行混合,属于关于浓度的混合比值题型,用线段法作答。


写出公式:浓度 = 溶质/溶液 接下来我们画一条线段,混合之前写两边,在线段两端写上比值,也就是50%和40%,混合之后写中间,中间的混合后浓度我们不知道,是我们要求的数值,我们设成X,求距离按顺序减,这两条小线段的距离就是50%-X与X-40%,同学们记住要么从左往右减,要么从右往左减,一定要有顺序。不能两边都往中间减,即不能写成50%-X与40%-X。距离与量成反比,我们这里说的量就是除数、分母,也就是溶液,写到对应的比值下面,然后写出比值公式:50%-X=80/100+20=2/3,前面是线段距离的比,后面是对应量的反比,可将ABCD代入公式中,确定正确答案为D。


5、方程思维:主要考察不定方程解法。未知数个数多于方程个数时,就叫做不定方程。不定方程只看不算:看奇偶特性、倍数特性、尾数法以及代入排除法。


数量最常考的11大题型,以及该如何解答


【例】(2017山东)小张的孩子出生的月份乘以29,出生的日期乘以24,所得的两个乘积加起来刚好等于900。问孩子出生在哪一个季度?

A.第一季度

B.第二季度

C.第三季度

D.第四季度


答案:D。一季度123,二季度456,三季度789,四季度10,11,12。


设出生的月份为a,日期为b,根据题意可得29a+24b=900,这就是一个不定方程。不定方程只看不算:看奇偶特性、倍数特性、尾数法以及代入排除。奇偶特性只能得出a是偶数,无法解题。就再试试倍数特性,29是质数不能进行因式分解,24和900有最大公约数12,也就是说24b能被12整除,900能被12整除,根据倍数特性, 29a也得是12的倍数,29不是12的倍数,所以a是12的倍数,a代表的是月份。结合常识a只能为12月,即第四季度,故正确答案为D。


1、工程问题:比如说把一段工程完成,把一本书看完,把一条路修完,把一片草地吃完,把一池子水放完等等,这些都叫做工程问题,公式:工作总量=效率×时间。


【例】(2017广东)现有一批零件,甲师傅单独加工需要4小时,乙师傅单独加工需要6小时。两人一起加工这批零件的50%需要多少个小时?

A.0.6       

B.1

C.1.2                                     

D.1.5


答案:C。加工零件属于工程问题。题干没有给出工作总量和效率,只给出两个时间,属于无效率型工程问题,用赋值法作答。首先写出工程问题公式:工作总量=时间*效率。然后将数值填到关于公式的表格中(下面)。赋值工程总量为两人工时4小时和6小时的最小公倍数即12,则甲的效率为12÷4=3,乙的效率为12÷6=2,一起加工这批零件的50%为12*50%=6,二人效率和为3+2=5,需要的时间为,6/5=1.2小时,正确答案为C。


注:考试的时候不需要画表格,只需将所属数值填写到公式下面即可。


2、行程问题:考查速度、时间、路程的数值是多少。公式:路程=速度*时间


【例】(2018国考)一辆汽车第一天行驶了5个小时,第二天行驶了600公里,第三天比第一天少行驶200公里,三天共行驶了18个小时。已知第一天的平均速度与三天全程的平均速度相同,问三天共行驶了多少公里?

A.800                                   

B.900

C.1000

D.1100


答案:B。判断题型属于行程问题,把关于行程问题的公式写出来:S=VT。然后找数值,我们发现三天一共行驶18小时,那么S=18V,运用倍数特性路程一定是18的倍数,只有B符合,故正确答案为B。


3、溶液问题:题干涉及到溶质、浓度、溶液等字眼,判断为溶液问题。公式:浓度=溶质÷溶液


【例】(2015天津)某科学兴趣小组在进行一项科学实验,从装满100克浓度为80%的盐水中倒出40克盐水后,再倒入清水将杯倒满,搅拌后再倒出40克盐水,然后再倒入清水将杯倒满,这样反复三次后,杯中盐水的浓度是(   )?

A.11.52%                             

B.17.28%

C.28.8%                             

D.48%


答案:B。这道题可以直接用浓度公式来计算。每次倒掉40克盐水,溶质减少40%,剩余为原来的60%,加满水后溶液100克不变,即新浓度= 60%溶质/溶液=60%原浓度,我们可以看出浓度变成原来的60%。这道题就可以理解为浓度为80%的溶液,每次倒盐水又加清水后浓度变为原来浓度的60%,一共倒了3次,剩余浓度为:80%×60%×60%×60%=17.28%。


4、经济利润问题:凡是跟钱有关的都可以归为经济利润问题。


公式:


利润=售价(定价*折扣)-进价(成本)  


总价=单价*数量

   

利润率=利润/进价(成本)*100%     


利润=盈利-亏损


【例】(2017江西)某公司研发出了一款新产品,当每件新产品的售价为3000元时,恰好能售出15万件。若新产品的售价每增加200元时,就要少售出1万件。如果该公司仅售出12万件新产品,那么该公司新产品的销售总额为?

A.4.72亿元                           

B.4.46亿元

C.4.64亿元

D.4.32亿元


答案:D。公式:销售总额=数量*售价。已知最后销售量为12万件,利用倍数特性,可得最终销售总额一定是12的倍数,满足同时被3和4整除,只有D项符合。


5、容斥原理:把符合某条件的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。


【例】(2017江西)某乡有32户果农,其中有26户种了柚子树,有24户种了橘子树,还有5户既没有种柚子树也没有种橘子树,那么该乡同时种植柚子树和橘子树的果农有?

A.23户     

B.22户

C.21户   

D.24户


答案:A。本题题干包含两个条件A、B,两个条件都满足即二者交集AB。属于二集合容斥原理,可以用公式法进行解题。设同时种植柚子树和橘子树的果农有x户,根据二集合容斥原理公式,A+B-AB=总-都不满足。有26+24-x=32-5,尾数为3,故正确答案为A。


6、最值问题:考察极限思维,一般的问法是最多是多少?至少有多少?最多的至少有多少?


【例】(2010河北)某中学初二年级共有620名学生参加期中考试,其中语文及格的有580名,数学及格的有575名,英语及格的有604名,以上三门功课都及格的至少有多少名同学?

A.575                                     

B.558

C.532                               

D.519


答案:D。问题处满足“所有条件都满足至少有多少”的问法,属于最值问题中多集合反向构造题型。


如果按照正向思维,我们需要将语数英及格的人数相加,然后减去其中有一个不及格的人和两科不及格的人,才能求出三科都及格的人数。题干中并没有提供不及格学生的人数,我们也求不出来,所以我们需要用逆向思维,总-不满足=都满足。


所以首先第一步,反向作差,语文不及格:620-580=40,数学不及格:620-575=45,英语不及格:620-604=16。第二步,差求和。我们将三个不及格的数值相加,就得到了不及格人数的最大可能值:40+45+16=101,即三个科目的不及格学生完全没有交集。第三步,再反向作差。总-不及格最大可能数=都及格最小可能人数:620-101=519,观察尾数即可,故正确答案为D。


7、排列组合:题干中求“有多少种排序方式,有多少种排列方法”。


【例】(2017吉林)罐中有12颗围棋子,其中8颗白子,4颗黑子。从中任取3颗棋子。则至少有一颗黑子的情况有?

A.98种                                 

B.164种

C.132种                                 

D.102种


答案:B。本题也可采用逆向思维,总-不满足=满足。问至少有一颗黑子,可求出一颗黑子都没有的情况数,再用总情况数减去该数值即为正确答案。总情况数为从12颗棋子中任取3颗, 220种,一颗黑子都没有的情况数就是3个棋子都是白的,为56种,即至少有一颗黑子的情况数为220-56=164种,故正确答案为B。

8、周期问题:事物在发展、变化过程中,某些特征循环重复出现,这个循环就叫"周期"。


【例】(2011安徽)在我国民间常用十二生肖进行纪年,十二生肖的排列顺序是鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪。2011年是兔年,那么2050年是(   )?

A.虎年                               

B.龙年

C.马年

D.狗年


答案:C。问2050年是什么,考查周期余数。生肖周期是12,把2011年当作起点,我们要从2011往后数,所以距离2050年有2050-2011=39,39÷12=3余3,从兔年开始,往后数3年是马年,即2014年是马年,然后是3轮循环,2026年、2038年、2050年都是马年。


9、时间问题:考察日期、星期、年份、年龄等问题。


【例】(2017江西)3年前张三的年龄是他女儿的17倍,3年后张三的年龄是他女儿的5倍,那么张三的女儿现在?

A.2岁   

B.3岁

C.4岁   

D.5岁


答案:D。年龄问题,可以考虑用代入排除法作答。根据“三年前”可排除AB,因为A选项3年前女儿没生,B选项女儿0岁,不存在17倍。代入C,如果女儿现在4岁,三年前1岁,则张三17岁,答案明显不合理,可排除(验证三年后父23,女7,不构成5倍),故正确答案为D。(本题“3年后”≠“现在”=“现在+3年”)

10、统筹:从众多方案中选取最优方案的题目叫统筹问题,如最省时,最省钱、效率最快。


【例】(2013江苏)局长找甲、乙、丙三位处长谈话,计划与甲交谈10分钟,与乙交谈12分钟,与丙交谈8分钟。办公室助理通过合理调整三人交谈的顺序,使得3人交谈和等待的总时间最少。请问调整后的总时间为多少?

A.46分钟             

B.48分钟

C.50分钟           

D.56分钟


答案:D。本题属于访谈类时间统筹问题,一个人谈的时候,另两个人就要在外面等着,所以总时间就是三个人等待和交谈时间的加和。三个人的总时间=3人的交谈时间+3人的等待时间,交谈时间不能改变,为了让总时间最少,就得让等待的时间尽可能的小,所以谁谈的快谁先谈


谈话顺序可确定为丙、甲、乙,则丙的总时间为8分钟,甲的总时间为8+10=18分钟,乙的总时间为8+10+12=30分钟,三人的总时间之和为8+18+30=56分钟,故正确答案为D。


11、计数问题:考查等差、等比、横排纵列、排列组合、容斥原理、植树等具体数值的题型。


【例】(2012国考)某成衣厂对9名缝纫工进行技术评比,9名工人的得分正好成等差数列,9人的平均得分是86分,前5名工人的得分之和是460分,那么前7名工人的得分之和是多少?

A.602                                     

B.623

C.627

D.631


答案:B。这道题已经给出工人分数为等差数列。求前7名工人的分数和,项数7是奇数,平均数=中位数。所以我们求和公式用Sn=n*中位数。


根据“前5名工人的得分之和是460分”可得a3=460÷5=92分,根据“9人的平均得分是86分”可得a5=86分,则a4=(a3+a5)÷2=(92+86)÷2=89分,可得前7名工人的得分之和为89×7=623分。


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